Astmehulk

Astmehulk ehk potentshulk on matemaatikas hulk, mis koosneb antud hulga $S$ kõigist alamhulkadest (kaasa arvatud tühi hulk ja hulk $S$ ise).

Astmehulga {x, y, z} elemendid kaasaarvamise järjekorras.

Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikas postuleerib astmehulga olemasolu astmehulga aksioom, mille järgi igal hulgal on olemas astmehulk.

Hulga $S$ astmehulka tähistatakse kujul 𝒫(S), P(S), $\mathbb {P} (S)$, $\wp (S)$ või 2^S. Tähis 2^S tähistab õigupoolest hulka, mille elemendid on kõik funktsioonid hulgast $S$ mõnda kahe elemendiga hulka (näiteks $\{0,1\}$); seda kasutatakse sellepärast, et hulga $S$ astmehulk on selle funktsioonide hulgaga võrdvõimas.

Näide

Kui $S$ on hulk $\{x,y,z\}$, siis kõik $S$-i alamhulgad on:

• $\{\}$ (märgitud ka kui $\varnothing$ või $\emptyset$, tühi hulk või nullhulk)
• $\{x\}$
• $\{y\}$
• $\{z\}$
• $\{x,y\}$
• $\{x,z\}$
• $\{y,z\}$
• $\{x,y,z\}$

Seega on hulga $S$ astmehulk $\{\{\},\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\},\{x,y,z\}\}$

Omadused

Kui $S$ on lõplik hulk võimsusega $|S|=n$ (hulga $S$ elementide arv on $n$), siis on hulga $S$ kõigi alamhulkade arv $|\mathbb {P} (S)|=2^{n}$.

Cantori diagonaaltõestus näitab, et hulga astmehulk (olgu hulk lõpmatu või mitte) on alati suurema võimsusega kui hulk ise, mis tähendab, et astmehulk on alati suurem kui hulk ise.

Hulga $S$ astmehulk koos ühendi, ühisosa ja täiendi tehetega on algeline näide Boole'i algebrast.

Seos indikaatorfunktsiooniga

Indikaatorfunktsioon hulga $S$ alamhulga $A$ puhul on funktsioon hulgast $S$ kahe elemendiga hulka $\{0,1\}$, mida tähistatakse kui $I_{A}:S\rightarrow \{0,1\}$. Selline funktsioon näitab seda, kas hulga $S$ element kuulub alamhulka $A$ või mitte. Kui hulga $S$ element $x$ kuulub alamhulka $A$, siis $I_{A}(x)=1$, ning muul juhul $0$. Iga hulga $S$ alamhulga $A$ puhul eksisteerib indikaatorfunktsioon $I_{A}$. Kirjapilt $X^{Y}$ tähistab hulgateoorias hulka, mis sisaldab kõiki funktsioone hulgast $Y$ hulka $X$. Hulk $\{0,1\}^{S}$, mis koosneb seega igast funktsioonist hulgast $S$ hulka $\{0,1\}$, koosneb kõigi hulga $S$ alamhulkade indikaatorfunktsioonidest. Teisisõnu on $\{0,1\}^{S}$ vastavuses ehk bijektiivne astmehulgaga $\mathbb {P} (S)$. Kuna iga element hulgast $S$ vastab kas arvule $0$ või $1$ mistahes funktsiooni puhul hulgast $\{0,1\}^{S}$, omab see funktsioonide hulk võimsust $2^{n}$. Kuna arv $2$ võib olla hulgateoorias defineeritud kui $\{0,1\}$ (näiteks von Neumanni ordinaalarvude puhul), kirjutatakse $\mathbb {P} (S)$ ka kui $2^{S}$. Seega on samuti tõene, et$|2^{S}|=2^{|S|}$.

Kirjandus

• Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003.
• Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403.
• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992), Sheaves in Geometry and Logic, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97710-4
• Puntambekar, A. A. (2007). Theory Of Automata And Formal Languages. Technical Publications. ISBN 978-81-8431-193-8.
• Weisstein, Eric W. "Power Set". mathworld.wolfram.com (inglise). Originaali arhiivikoopia seisuga 6. aprill 2023. Vaadatud 5. septembril 2020.